Aritmetik & Geometrik Dizi Hesaplayıcı – Konu Anlatımı

Aritmetik ve Geometrik Diziler — Formüller, Mantık ve Kullanım Alanları

Dizi, belirli bir kurala göre sıralanmış sayıların oluşturduğu bir listedir: a₁, a₂, a₃, …, a_n. Diziler matematikte “düzeni” temsil eder: tekrar eden bir yapı gördüğünde bunu dizi ile modelliyorsun demektir. Özellikle aritmetik ve geometrik diziler, hem okul matematiğinin temelini oluşturur hem de finans, mühendislik ve bilimsel modellemede çok sık kullanılır.

---

1) Aritmetik Dizi (Ortak Fark d Sabit)

Aritmetik dizide her adımda aynı miktar eklenir (ya da çıkarılır). Yani ardışık iki terim arasındaki fark sabittir:

d = a_k+1 − a_k

Buradaki d ortak farktır. Eğer d > 0 ise dizi artar, d < 0 ise azalır, d = 0 ise sabit kalır.

1.1 n’inci terim formülü (a_n) nasıl çıkar?

Mantık şudur: a₁’den başlayıp her seferinde d ekliyorsun:

• a₂ = a₁ + d
• a₃ = a₁ + 2d
• a₄ = a₁ + 3d
• ...
• a_n = a₁ + (n−1)d

Sonuç: a_n = a₁ + (n−1)·d

Burada (n−1) ifadesi çok önemli: a₁’den a_n’e gelmek için n−1 adım ilerlersin.

1.2 İlk n terimin toplamı (S_n) formülü

Aritmetik dizinin toplam formülü klasik bir “çiftleme” fikrine dayanır. S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n olsun. Diziyi tersten yaz:

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n
S_n = a_n + a_n−1 + ... + a₁

Bu iki satırı toplayınca her sütunda aynı toplam oluşur:

• (a₁ + a_n)
• (a₂ + a_n−1)
• ...

Toplamda n tane çift vardır ve her birinin toplamı (a₁ + a_n) eder:

2S_n = n(a₁ + a_n)

S_n = n(a₁ + a_n)/2

Dikkat: a_n bilinmiyorsa önce a_n’i a_n = a₁ + (n−1)d ile bulup yerine koyarsın.

1.3 Nerede kullanılır?

• Düzenli artış/azalış: Her ay aynı miktar tasarruf eklemek, her hafta aynı km artırmak gibi.
• Doğrusal modeller: Bir büyüklük “sabit hızla” değişiyorsa (lineer artış) aritmetik yapı yakalanır.
• Planlama: İş/üretim hedefleri sabit adımlarla artırılıyorsa toplam hedefi hesaplamak.

---

2) Geometrik Dizi (Ortak Oran r Sabit)

Geometrik dizide her adımda sabit bir sayı ile çarpılır. Ardışık iki terim arasındaki oran sabittir:

r = a_k+1 / a_k (a_k ≠ 0)

Burada r ortak orandır. r > 1 ise büyüyen, 0 < r < 1 ise azalan (sönümlenen), r < 0 ise işaret değiştiren (dalgalı) bir yapı oluşur.

2.1 n’inci terim formülü (a_n) nasıl çıkar?

Mantık: a₁’i her adımda r ile çarpıyorsun:

• a₂ = a₁·r
• a₃ = a₁·r²
• a₄ = a₁·r³
• ...
• a_n = a₁·rⁿ⁻¹

Sonuç: a_n = a₁·rⁿ⁻¹

Yine (n−1) kritik: a₁’den a_n’e gelmek için n−1 kez “r ile çarpma” işlemi yaparsın.

2.2 İlk n terimin toplamı (S_n) — r ≠ 1

Geometrik toplam formülü biraz “akıllı çıkarım” ister. S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + ... + a₁rⁿ⁻¹

Şimdi her iki tarafı r ile çarp:

rS_n = a₁r + a₁r² + ... + a₁rⁿ

Bu iki ifadeyi çıkar:

S_n − rS_n = a₁ − a₁rⁿ

Ortak parantez:

S_n(1 − r) = a₁(1 − rⁿ)

Sonuç (r ≠ 1): S_n = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)

2.3 Özel durum: r = 1

r = 1 ise her terim aynıdır: a₁, a₁, a₁, ... Bu yüzden toplam basitleşir:

S_n = n·a₁

2.4 Nerede kullanılır?

• Faiz ve bileşik büyüme: Finansın kalbi. Paranın “yüzdeyle” büyümesi geometriktir.
• Popülasyon ve yayılma: Bakteri çoğalması, zincirleme etkiler (ör. viral yayılım) geometrik modele yaklaşır.
• Fizik ve mühendislik: Sönüm, yarılanma (radyoaktif bozunma), tekrar tekrar aynı oranda azalma/çoğalma.
• Bilgisayar bilimleri: Logaritmalar, algoritma ölçeklenmesi, veri büyümesi gibi konularda geometrik düşünme gerekir.

---

3) Aritmetik mi Geometrik mi? Hızlı ayırt etme

• Ardışık terimler arasında fark sabitse → Aritmetik (d sabit).
• Ardışık terimler arasında oran sabitse → Geometrik (r sabit).

Örnek: 3, 7, 11, 15 → farklar 4 → aritmetik.
2, 6, 18, 54 → oranlar 3 → geometrik.

---

4) Tarihsel ve kültürel kısa not

Diziler ve toplamlar, “sayma” ihtiyacıyla birlikte çok eskiden beri var. Aritmetik toplam fikrinin popüler anlatımlarından biri, küçük yaşta Gauss’a atfedilen hikâyedir: 1’den 100’e kadar olan sayıların toplamını hızlıca bulma (çiftleme fikri). Bu anlatı, toplam formülünün mantığını hafızaya kazıdığı için eğitim kültüründe çok yaygındır.

Geometrik düşünme ise özellikle “oran” ve “büyüme” üzerinden şekillenir. Ticaret, faiz, nüfus artışı, hatta mimaride ölçek ve benzerlik gibi konular, insanları doğal olarak geometrik dizilere götürmüştür. Modern dünyada “yüzdeyle değişim” gördüğün her yerde geometrik yapı saklıdır.

---

5) Bu hesaplayıcı sonuçları nasıl üretiyor?

• Dizi tipini seçtiğinde araç, ilgili formülü devreye sokar.
• a_n için:
  • Aritmetik: a_n = a₁ + (n−1)d
  • Geometrik: a_n = a₁·rⁿ⁻¹
• S_n için:
  • Aritmetik: S_n = n(a₁ + a_n)/2
  • Geometrik: r≠1 ise S_n = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r); r=1 ise S_n = n·a₁
• Ek olarak ilk 10 terimi tabloya yazar; böylece dizi davranışını gözle görürsün.

Not: Sonuçlar eğitim amaçlıdır. Büyük n değerlerinde geometrik dizide sayılar çok hızlı büyüyebilir (taşma/yuvarlama görülebilir).