Basit Harmonik Hareket (Yay–Kütle) – Konu Anlatımı

Basit Harmonik Hareket (BHH) Nedir?

Basit harmonik hareket, bir cismin denge konumundan uzaklaştıkça onu geri çağıran kuvvetin uzaklıkla doğru orantılı olduğu durumlarda ortaya çıkar. Bu “doğru orantı” yüzünden hareket, sinüs/kosinüs gibi periyodik fonksiyonlarla ifade edilir.

Geri çağırıcı kuvvet: F = −k·x

Buradaki k yay sabiti (N/m), x denge noktasından sapma (m) ve “−” işareti kuvvetin her zaman dengeye doğru olduğunu söyler. Yani cisim sağa kaydıysa kuvvet sola, sola kaydıysa kuvvet sağa doğrudur.

---

Modeli Kurma: Neden Diferansiyel Denklem Çıkıyor?

Yay–kütle sistemi için Newton’un 2. yasasını yazalım:

Newton: ΣF = m·a = m·x''

Yayın kuvveti tek kuvvet olsun (sürtünmesiz, yatay sistem gibi düşün):

m·x'' = −k·x  →  m·x'' + k·x = 0

Bu denklem, “ivme konuma ters işaretli orantılı” demektir. İşte bu özellik, sinüs/kosinüs çözümlerini doğurur: çünkü cos fonksiyonunun ikinci türevi yine cos’a döner ama işareti değişir.

---

Açısal Frekans (ω) Nereden Geliyor?

Denklemin standart çözümü:

x(t) = A·cos(ωt + φ)

Buradaki: A genlik (maksimum sapma), φ başlangıç fazı (başlangıç koşullarını ayarlar), ω açısal frekans (rad/s).

Bunu denkleme koyarsan (x'' = −A·ω²·cos(ωt+φ)):

m·(−A·ω²·cos) + k·(A·cos) = 0
A·cos(ωt+φ)·(k − mω²) = 0  →  ω² = k/m

ω = √(k/m)

Yorum: Yay ne kadar “sertse” (k büyük) salınım o kadar hızlıdır. Kütle ne kadar büyükse (m büyük) sistem “ağır” davranır, salınım yavaşlar.

---

Periyot (T) ve Frekans (f)

Bir tam salınımın süresi periyottur. Açısal frekansla ilişkisi:

T = 2π / ω

Frekans ise saniyedeki salınım sayısıdır:

f = 1 / T

Burada önemli bir kültür notu: Fizikte “frekans” günlük dildeki “hızlılık” gibi düşünülür ama birimi Hz (1/s) dir. Müzikteki notaların perdesi (la=440 Hz gibi) tam olarak “saniyede kaç titreşim” olduğudur.

---

Konum–Hız–İvme Denklemleri

Konumu biliyorsak hız, konumun türevi; ivme ise hızın türevidir:

x(t) = A·cos(ωt + φ)
v(t) = x'(t) = −A·ω·sin(ωt + φ)
a(t) = x''(t) = −A·ω²·cos(ωt + φ) = −ω²·x(t)

Son satır çok güçlü bir fikir verir: a = −ω² x. Yani ivme her an konuma ters yönde ve büyüklüğü konumla orantılıdır. Bu yüzden cisim dengeye doğru “çekilir”.

---

Maksimum Hız ve Maksimum İvme

Sinüs/kosinüsün mutlak değeri en fazla 1 olabildiği için:

v_max = A·ω
a_max = A·ω²

Yorum: en büyük hız denge noktasından geçerken olur (enerji tamamen kinetik), en büyük ivme uç noktalarda olur (enerji tamamen yayda depolanmışken geri çağırma en güçlü).

---

Enerji Perspektifi: Neden “Harmonik”?

BHH’nin güzelliği, enerjinin iki form arasında düzenli gidip gelmesidir:

• Yay potansiyel enerjisi: U = (1/2)·k·x²
• Kinetik enerji: K = (1/2)·m·v²

Sürtünmesiz ideal durumda toplam enerji sabittir: E = K + U. Uç noktalarda v=0 (enerji yayda), denge noktasında x=0 (enerji hareket enerjisinde) olur.

---

Başlangıç Fazı (φ) Ne İşe Yarar?

Faz, hareketin “hangi noktadan başladığını” belirler:

• φ = 0 ise x(0)=A, yani sistem uç noktadan başlar (cos 0 = 1).
• φ = 90° ise x(0)=0, yani denge noktasından başlar (cos 90° = 0).

Gerçekte başlangıç koşulların (ilk konum ve ilk hız) hangi φ ve A ile uyumlu olduğunu belirler.

---

Nerelerde Karşımıza Çıkar?

• Yay–kütle sistemleri: sensörler, amortisör benzeri modeller (ideale yakın küçük salınımlar).
• Sarkaç (küçük açı): küçük salınımda yaklaşık BHH davranışı gösterir.
• Moleküler titreşimler: kimyada bağ titreşimleri, IR spektroskopisi (yaklaşık harmonik osilatör).
• Elektronik devreler: LC devresinde enerji elektrik alanı–manyetik alan arasında salınır (matematik aynı).
• Ses ve müzik: tel ve hava sütunu titreşimleri, “harmonik” kavramı kültürel olarak müzik teorisine de taşar.

---

Gerçek Hayat Notu: Sönüm ve Doğrusal Olmayanlık

Bu araç ideal BHH’yi çözer: sürtünme yok, yay lineer (Hooke yasası geçerli), genlik çok büyümüyor. Gerçekte:

• Sönüm varsa genlik zamanla azalır (enerji ısıya gider).
• Genlik büyürse yay lineer davranmayabilir ve periyot az da olsa değişebilir.
• Hava direnci ve iç sürtünme, tablodaki v(t), a(t) değerlerini gerçek hayatta biraz farklılaştırır.

Özet Formüller: F=−kx, m x'' + kx = 0, ω=√(k/m), T=2π/ω, f=1/T, x=Acos(ωt+φ), v=−Aω sin(ωt+φ), a=−Aω² cos(ωt+φ)=−ω²x.