Mutlak Değer Grafiği (y = a|x-h| + k) – Konu Anlatımı

Mutlak Değer Grafiği: y = a|x-h| + k (Çok Derin Anlatım)

1) Mutlak değer ne demek?

|x-h| ifadesi, x'in h noktasına uzaklığıdır. Bu yüzden her zaman 0 veya pozitif olur.

2) Tepe (köşe) noktası neden (h,k)?

x = h olduğunda |x-h| = 0 olur. Dolayısıyla:

y(h) = a·0 + k = k

Bu yüzden tepe noktası (h, k)'dir. Mutlak değer grafiğinin "köşe" oluşu, |x-h| fonksiyonunun x=h noktasında yön değiştirmesindendir.

3) Simetri ekseni

|x-h|, h etrafında simetriktir. Yani h'nin solunda ve sağında aynı uzaklıktaki x'ler aynı y'yi verir:

|(h-d)-h| = |(h+d)-h| = d

Bu yüzden grafiğin simetri ekseni x = h doğrusudur.

4) a katsayısı ne yapar?

• a > 0: Grafik yukarı bakar (V).
• a < 0: Grafik aşağı bakar (∧).
• |a| büyürse: kollar daha dik olur (grafik "daralır").
• |a| küçülürse: kollar daha yatık olur (grafik "genişler").

5) Parça parça (piecewise) yazım

Mutlak değer şu şekilde açılır:

• x ≥ h ise |x-h| = x-h
• x < h ise |x-h| = -(x-h) = h-x

Dolayısıyla:

y = a|x-h| + k =

{ a(x-h)+k,   x≥h
a(h-x)+k,   x<h }

6) Eğim yorumu

x ≥ h bölgesinde eğim +a, x < h bölgesinde eğim -a olur. Bu yüzden tepe noktasında grafikte "kırılma/köşe" görülür.

7) Kesişimler

• y-kesişimi: x=0 yazılır (0 aralık içindeyse).
• x-kesişimi: y=0 için a|x-h|+k=0 çözülür:
  • a=0 ise y=k sabit çizgi
  • a≠0 ise |x-h| = -k/a. Sağ taraf negatifse kök yok.

Not: Bu araç sayısal örnekleme ile grafik çizer, ama fonksiyonun yapısı gereği tepe noktası ve simetri bilgisi analitiktir.