EBOB – EKOK – Konu Anlatımı
Bu sayfada EBOB – EKOK hesabının mantığını, nasıl kullanıldığını ve dikkat edilmesi gerekenleri bulursun.
EBOB ve EKOK — Kavramlar ve Yöntemler
Bu hesaplayıcı iki tam sayının EBOB'unu (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK'unu (En Küçük Ortak Kat) bulur. Hesaplamada Öklid Algoritması kullanılır.
1) Temel Kavramlar
1.1 EBOB — En Büyük Ortak Bölen
İki sayıyı da kalansız bölen en büyük pozitif sayıdır.
Örnek: EBOB(12, 18)
- 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6 → en büyüğü 6
1.2 EKOK — En Küçük Ortak Kat
İki sayının da katı olan en küçük pozitif sayıdır.
Örnek: EKOK(12, 18)
- 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, ...
- 18'in katları: 18, 36, 54, 72, ...
- Ortak katların en küçüğü: 36
2) Öklid Algoritması ile EBOB Hesaplama
Büyük sayılarda bölenleri listelemek pratik değildir. Öklid Algoritması EBOB'u çok hızlı bulur.
2.1 Temel kural
EBOB(a, b) = EBOB(b, a mod b) (b ≠ 0)
"mod" bölme işlemindeki kalandır. Örn: 18 mod 12 = 6 (çünkü 18 = 12·1 + 6).
2.2 Neden doğru?
a ve b'yi bölen herhangi bir d sayısı, a − k·b farkını da böler.
a mod b = a − ⌊a/b⌋·b olduğundan, d aynı zamanda a mod b'yi de böler.
Dolayısıyla {a, b} çiftinin ortak bölenleri ile {b, a mod b} çiftinin ortak bölenleri aynıdır —
yani en büyük ortak bölen de aynıdır.
2.3 Adım adım örnek (18, 12)
- 18 mod 12 = 6 → EBOB(18, 12) = EBOB(12, 6)
- 12 mod 6 = 0 → EBOB(12, 6) = EBOB(6, 0)
- b = 0 oldu → sonuç: EBOB = 6
3) EKOK ve EBOB Arasındaki Bağıntı
EKOK(a, b) = |a · b| / EBOB(a, b)
3.1 Asal çarpanlarla sezgi
EBOB her asal için küçük üssü (min), EKOK ise büyük üssü (max) alır:
- 12 = 2² · 3¹
- 18 = 2¹ · 3²
- EBOB = 2¹ · 3¹ = 6
- EKOK = 2² · 3² = 36
- Kontrol: |12 · 18| / 6 = 216 / 6 = 36 ✓
4) Özel Durumlar
4.1 Negatif sayılar
EBOB ve EKOK pozitif tanımlanır; hesaplamadan önce mutlak değer alınır. EBOB(−12, 18) = EBOB(12, 18) = 6.
4.2 Sıfır durumu
- EBOB(a, 0) = |a| — sıfırı her sayı böler, belirleyici olan a'dır.
- EKOK(a, 0) = 0 — sıfırın katları yalnızca sıfırdır.
- EBOB(0, 0) tanımsızdır (matematikte belirsiz kabul edilir).
5) Kullanım Alanları
EBOB ne işe yarar?
- Kesir sadeleştirme: 24/36 → EBOB = 12 → 2/3
- Eşit parçalara bölme (en büyük ortak ölçü)
- Ambalaj/paketleme problemleri
EKOK ne işe yarar?
- Periyot problemleri: "iki olay kaç birimde bir aynı anda gerçekleşir?"
- Payda eşitleme: 1/6 + 1/8 için ortak payda = EKOK(6, 8) = 24
- Takvim döngüleri ve tekrar eden olaylar
Not: Üç veya daha fazla sayı için genişletme mümkündür: EBOB(a,b,c) = EBOB(EBOB(a,b), c) ve aynı şekilde EKOK için.