EBOB – EKOK – Konu Anlatımı

EBOB – EKOK (En Büyük Ortak Bölen / En Küçük Ortak Kat)

Bu hesaplayıcı, iki tam sayının: EBOB’unu (en büyük ortak bölen) ve EKOK’unu (en küçük ortak kat) bulur. Hesaplamada Öklid (Euclid) Algoritması kullanılır.

---

1) Kavramlar: EBOB ve EKOK ne demek?

1.1 EBOB (gcd)

EBOB, iki sayıyı da kalansız bölen en büyük pozitif sayıdır.

• Örn: 12’nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 18’in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6 → en büyüğü 6
• Bu yüzden EBOB(12, 18) = 6

1.2 EKOK (lcm)

EKOK, iki sayının da katı olan en küçük pozitif sayıdır.

• 12’nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
• 18’in katları: 18, 36, 54, 72, ...
• Ortak katların en küçüğü: 36
• Bu yüzden EKOK(12, 18) = 36

---

2) Öklid Algoritması: EBOB’u hızlı bulmanın yolu

EBOB’u doğrudan bölenleri listeleyerek bulmak büyük sayılarda zorlaşır. Öklid Algoritması, EBOB’u çok hızlı bulur.

2.1 Temel fikir

EBOB(a, b) = EBOB(b, a mod b)   (b ≠ 0)

Buradaki “mod”, bölme işlemindeki kalandır. Örneğin 18 mod 12 = 6 çünkü 18 = 12·1 + 6.

2.2 Neden doğru?

a ve b’nin ortak böleni olan herhangi bir d sayısı:

• d | a ve d | b ise, d aynı zamanda (a − k·b)’yi de böler.
• a mod b = a − ⌊a/b⌋·b olduğundan, d | (a mod b) olur.

Yani a ve b’nin ortak bölenleri ile b ve (a mod b)’nin ortak bölenleri aynı kümedir. Dolayısıyla “en büyük ortak bölen” de aynıdır.

2.3 Adım adım örnek (12, 18)

• Başla: a=12, b=18 → algoritmada genelde |a|, |b| alınır (işaret önemsiz).
• 18 mod 12 = 6 → EBOB(18, 12) = EBOB(12, 6)
• 12 mod 6 = 0 → EBOB(12, 6) = EBOB(6, 0)
• b=0 olduğunda sonuç: EBOB = 6

2.4 Koddaki döngü ne yapıyor?

Kod şu mantığı uygular:

• Her turda “kalan”ı bulur: t = a % b
• a’yı b yapar
• b’yi kalan yapar
• b sıfır olunca durur ve a EBOB olur

---

3) EKOK nasıl bulunur? (EBOB ile bağlantı)

En çok kullanılan pratik bağıntı:

EKOK(a, b) = |a·b| / EBOB(a, b)

3.1 Neden bu formül çalışıyor?

a ve b’yi asal çarpanlarına ayıralım:

• a = p¹ᵃ · p²ᵃ · ...
• b = p¹ᵇ · p²ᵇ · ...

EBOB: her asal için küçük üssü alır (min).
EKOK: her asal için büyük üssü alır (max).

a·b çarpımında üssler “toplanır”. Bu çarpımın içinde EBOB’nin aldığı “min” kısmı da vardır. O min kısmı bölerek, aslında EKOK’nin istediği “max” yapısını elde etmiş olursun.

3.2 Küçük örnekle sezgi

• 12 = 2²·3¹
• 18 = 2¹·3²
• EBOB = 2¹·3¹ = 6
• EKOK = 2²·3² = 36
• |12·18|/6 = 216/6 = 36 ✅

---

4) Sıfır ve negatif sayılar: özel durumlar

4.1 Negatif sayılar

EBOB ve EKOK genelde pozitif tanımlanır. Bu yüzden hesaplayıcı önce mutlak değer alır: gcd(a, b) içinde a = |a|, b = |b| yapılmasının sebebi budur.

4.2 Sıfır (0) durumu

• EBOB(a, 0) = |a| (a ≠ 0)
• EKOK(a, 0) = 0 kabul edilir

Mantık:

• 0’ı bölen her sayı vardır ama “ortak bölen” açısından a’nın bölenleri belirleyicidir → EBOB = |a|
• 0’ın katları yalnızca 0’dır; dolayısıyla ortak katın en küçüğü 0 alınır → EKOK = 0

İki sayı da 0 olamaz kontrolü bu yüzden var: EBOB(0,0) matematikte belirsiz kabul edilir (sonsuz bölen problemi).

---

5) Hesaplayıcı sonuçlarını nasıl yorumlamalısın?

5.1 EBOB ne işe yarar?

• Kesir sadeleştirme: 24/36 → EBOB=12 → 2/3
• Parça-bölme: “eşit paketlere ayırma” problemleri
• Ortak ölçü / en büyük eşit parça bulma

5.2 EKOK ne işe yarar?

• Periyot problemleri: “iki olay kaç dakikada bir aynı anda olur?”
• Payda eşitleme: 1/6 + 1/8 için ortak payda EKOK(6,8)=24
• Takvim/tekrar eden döngüler

---

6) Bu aracın kapsamı ve sınırları

• Bu araç iki sayı için hesap yapar.
• İstersen 3+ sayı için genişletebiliriz:
  • EBOB(a,b,c) = EBOB(EBOB(a,b), c)
  • EKOK(a,b,c) = EKOK(EKOK(a,b), c)
• Çok büyük sayılarda (JavaScript Number sınırları) çarpım (x*y) taşabilir. Bu yüzden aşırı büyük değerler için BigInt versiyonunu da yazabiliriz.

Not: Bu anlatım temel matematik tanımlarına göre hazırlanmıştır. Farklı kaynaklarda EKOK’un “pozitif” olduğu vurgulanır; burada da sonuçlar pozitif yorumlanır.