Dönme Hareketi – v, ω, f, rpm, Merkezcil İvme – Konu Anlatımı

Dönme Hareketi (Düzgün Dairesel Hareket) — Çok Detaylı Konu Anlatımı

Bu hesaplayıcı, sabit açısal hızla dönen (yani “düzgün dairesel hareket” yapan) bir cismin temel büyüklükleri arasındaki dönüşümleri yapar: v (çizgisel hız), ω (açısal hız), f (frekans), T (periyot), rpm (devir/dakika) ve a_c (merkezcil ivme).

Dairesel harekette kritik fikir şudur: Hızın büyüklüğü sabit olsa bile yönü sürekli değiştiği için ivme vardır. Bu ivme, cismin yolunu daire üzerinde tutan merkezcil ivmedir ve her an dairenin merkezine doğrudur.

---

1) Temel kavramlar ve birimler

1.1 Yarıçap (r)

• r: dönme yarıçapı (metre, m)
• Cisim merkezden r uzaklıkta dönüyorsa dairenin yarıçapı r’dir.
• r büyüdükçe aynı ω için çizgisel hız v artar.

1.2 Çizgisel hız (v) — teğetsel hız

• v: m/s
• Cismin daire üzerindeki “yol alma hızı”dır.
• Yönü daireye her an teğettir (merkeze değil).

1.3 Açısal hız (ω)

• ω: rad/s
• Açının zamana göre değişim hızıdır: ω = dθ/dt
• 1 saniyede kaç radyan döndüğünü söyler.

1.4 Frekans (f) ve Periyot (T)

• f: Hz = 1/s → saniyede kaç tur attığı
• T: s → 1 turu kaç saniyede attığı
• İlişki: f = 1/T ve T = 1/f

1.5 rpm (devir/dakika)

• rpm: 1 dakika içinde kaç tur
• 1 dakika = 60 saniye olduğundan: rpm = 60·f ve f = rpm/60

---

2) En kritik dönüşüm formülleri (Bu hesaplayıcının çekirdeği)

2.1 Çizgisel hız – açısal hız bağı (v = ω·r)

v = ω · r

• ω sabitse: r arttıkça v artar (dış çember daha hızlı gider).
• r sabitse: ω arttıkça v artar (daha hızlı dönüyorsun).

Buradan ters dönüşümler:

• ω = v / r (r ≠ 0)
• r = v / ω (ω ≠ 0)

2.2 Açısal hız – frekans bağı (ω = 2πf)

ω = 2π · f

Çünkü 1 tur = 2π radyandır. Saniyede f tur atan bir sistem saniyede 2πf radyan döner.

Ters dönüşüm:

• f = ω / (2π)

2.3 Frekans – periyot bağı (f = 1/T)

f = 1/T

• f artarsa T azalır (daha sık tur atıyorsun → tur süresi kısalır).
• T artarsa f azalır.

2.4 rpm dönüşümü

rpm = 60·f

• f = rpm / 60
• ω = 2π·(rpm/60)

---

3) Merkezcil ivme (a_c) — “Neden ivme var?” sorusunun cevabı

Dairesel harekette hız vektörünün yönü sürekli değişir. Yön değişimi demek ivme demektir. Bu ivme merkez yönünde olduğu için merkezcil denir.

a_c = v² / r

Aynı ifade ω ile de yazılabilir:

a_c = ω² · r

3.1 Hangi formül ne zaman daha pratik?

• v biliyorsan: a_c = v²/r
• ω biliyorsan: a_c = ω²·r

3.2 Merkezcil ivme ne anlatır?

• a_c büyürse: dönüş daha “sert” hissedilir (virajda savrulma gibi).
• r küçükken aynı v için a_c büyür: küçük yarıçaplı dönüş daha zorlayıcıdır.
• v iki katına çıkarsa a_c dört katına çıkar (v² etkisi!).

Merkezcil kuvveti de (istersen) F = m·a_c ile bulursun, ama bu hesaplayıcı kuvveti hesaplamıyor — sadece ivmeyi veriyor.

---

4) Bu hesaplayıcı hangi “bilinen” ile nasıl çözüyor?

Araçta knownType seçiyorsun:

• v biliniyorsa:
  • r > 0 ise ω = v/r
  • f = ω/(2π)
  • T = 1/f
  • rpm = 60f
• ω biliniyorsa:
  • f = ω/(2π)
  • T = 1/f
  • rpm = 60f
  • r > 0 ise v = ωr
• f biliniyorsa:
  • T = 1/f
  • ω = 2πf
  • rpm = 60f
  • r > 0 ise v = ωr
• rpm biliniyorsa:
  • f = rpm/60
  • T = 1/f
  • ω = 2πf
  • r > 0 ise v = ωr

4.1 r = 0 olursa neden “Tanımsız” yazıyor?

r = 0 demek “merkez noktasında dönüyorsun” demektir. Bu durumda:

• v = ω·r → r=0 ise v = 0 olur (merkez noktasının çizgisel hızı yoktur).
• a_c = v²/r ifadesi r=0’da matematiksel olarak sıkıntılıdır (0’a bölme).

Bu yüzden kodda safe() fonksiyonu bazı çıktılara “Tanımsız (r=0 olabilir)” uyarısı veriyor. Pratikte dönme hesabı yapmak istiyorsan r’yi mutlaka pozitif seçmelisin.

---

5) Bir tam tur tablosu (t, θ, x, y) ne anlatır?

Hesaplayıcı, r>0 ve ω/f biliniyorsa bir tur süresini (T) bulur ve 0’dan T’ye kadar düzenli aralıklarla örnekler:

• t (s): zaman
• θ (rad): o andaki açısal konum
• θ (°): derece cinsinden açı (okuması kolay)
• x (m), y (m): düzlemdeki konum (dairenin parametre denklemleri)

5.1 θ nasıl hesaplanıyor?

Sabit açısal hızda:

θ(t) = ω · t

(Başlangıç açısı 0 varsayılır. İstersen ileride “başlangıç fazı θ₀” ekleyebiliriz.)

5.2 x ve y nereden geliyor?

Dairenin parametre denklemleri:

x(t) = r · cos(θ)
y(t) = r · sin(θ)

Bu sayede cisim bir tam tur atarken düzlemdeki konumu adım adım tabloya dökülür.

5.3 Tablo neden “bir tur”la sınırlı?

• Eğitimde bir tur hareketi görmek yeterince güçlüdür.
• Daha fazla tur istersen aynı mantıkla “kaç tur?” parametresi eklenebilir.

5.4 Δt (dt) seçimi neden önemli?

• dt küçükse: tablo daha detaylı olur ama satır sayısı artar.
• dt büyükse: tablo daha kısa olur ama hareket “seyrek örneklenir”.

Kodda maxRows sınırı var (performans için). Çok küçük dt verirsen sınır devreye girebilir.

---

6) Hız yönü ve ivme yönü (sık karıştırılan)

• v (çizgisel hız): her an daireye teğet
• a_c (merkezcil ivme): her an merkeze doğru

Yani hız “ileri doğru”, ivme “içe doğru” düşün. Bu ikisinin yönü genelde dik olur (düzgün dairesel harekette).

---

7) Gerçek hayatta neden birebir tutmayabilir?

Bu hesaplayıcı ideal düzgün dairesel hareket varsayar:

• Açısal hız sabit
• Yarıçap sabit
• Kayma, esneme, sürtünme ihmal

Gerçekte:

• Tekerlek yerde kayabilir (v = ωr her zaman tam tutmayabilir)
• Motor hızlanıp yavaşlayabilir (ω sabit olmaz)
• Yük ve sürtünme ivmeyi değiştirebilir

Not: Bu konu anlatımı, düzgün dairesel hareket (sabit ω) içindir. Değişken ω varsa “açısal ivme (α)” ve teğetsel ivme gibi ek kavramlar gerekir.