Doğru Grafiği (y = mx + b) – Konu Anlatımı

Doğru Grafiği (y = m x + b) — Detaylı Konu Anlatımı

Doğru denklemi denince en sık kullanılan form şudur:

y = m x + b

Bu form, koordinat düzleminde (x-y düzlemi) bir doğru çizer. “m” ve “b” doğruyu tamamen belirler. Yani m ve b’yi biliyorsan doğruyu da biliyorsun demektir.

---

1) m ve b ne anlama gelir?

1.1 Eğim (m)

m, doğrunun eğimidir. Eğim, x bir birim arttığında y’nin ne kadar değiştiğini söyler.

• m > 0 ise: x arttıkça y artar → doğru yukarı gider.
• m < 0 ise: x arttıkça y azalır → doğru aşağı gider.
• m = 0 ise: y sabittir → doğru yataydır (y = b).
• |m| büyüdükçe doğru daha “dik” görünür.

Eğim aslında bir orandır:

m = Δy / Δx

İki nokta (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) biliniyorsa:

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Burada dikkat: x₂ = x₁ olursa payda 0 olur ve eğim tanımsızdır. O zaman doğru “dikey doğru” olur (x = sabit). Bizim denklemimiz y = mx + b dikey doğruları temsil etmez.

1.2 Y-kesişim (b)

b, doğrunun y eksenini kestiği noktanın y değeridir. Yani x = 0 iken y kaç olur?

x = 0 yaz: y = m·0 + b = b

Demek ki doğru y eksenini (0, b) noktasında keser. Bu yüzden b’ye “y-kesişim” denir.

• b > 0 ise doğru y eksenini yukarıdan keser.
• b < 0 ise aşağıdan keser.
• b = 0 ise doğru orijinden geçer (0,0).

---

2) x-kesişim (doğrunun x eksenini kestiği yer)

x-kesişim, y = 0 olduğunda bulunur:

0 = m x + b

x = −b / m (m ≠ 0)

Bu şunu söyler: m ve b’yi biliyorsan doğrunun x eksenini nerede kestiğini de bilirsin.

• m = 0 ise doğru yataydır; y = b. Eğer b ≠ 0 ise x eksenini hiç kesmez. Eğer b = 0 ise tüm doğru x eksenidir.

---

3) “m değişirse ne olur?”, “b değişirse ne olur?” (Grafik sezgisi)

3.1 b değişirse: doğru yukarı/aşağı kayar

b, doğruyu dikey yönde kaydırır. m aynı kalırsa doğrular paraleldir.

Örn: y = 2x + 1 ve y = 2x − 3 paraleldir (eğim 2, sadece yukarı/aşağı kaymış).

3.2 m değişirse: doğru döner

m değişince doğru “eğilir/döner”. Aynı b ile farklı m değerleri aynı noktadan geçer: (0, b).

• m büyürse (ör. 1 → 5): doğru daha dikleşir.
• m küçülürse (ör. 5 → 1): doğru daha yataylaşır.
• m negatifse: doğru soldan sağa giderken aşağı iner.

---

4) Doğru denklemi nasıl bulunur?

En yaygın senaryolar:

4.1 Eğim ve bir nokta verilirse

Nokta (x₀, y₀) ve eğim m biliniyorsa:

y − y₀ = m(x − x₀)

Buradan açarsan y = mx + b formuna getirirsin ve b’yi bulursun.

4.2 İki nokta verilirse

Önce eğimi bul:

m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

Sonra bir noktayı kullanarak b’yi bul:

b = y₁ − m x₁

Böylece y = mx + b elde edilir.

---

5) Bu hesaplayıcı ne yapıyor? (Senin kod mantığın)

Bu araç, kullanıcıdan: m (eğim) ve b (y-kesişim) alır, ardından belirlediğin x aralığında noktalar üretir ve grafiğe çizer.

5.1 Aralık ve örnekleme (xMin, xMax, step)

• xMin: tablonun ve grafiğin başladığı x
• xMax: tablonun ve grafiğin bittiği x
• step: x’i kaç kaç artıracağın

Örn: xMin = −10, xMax = 10, step = 1 ise: x = −10, −9, −8, ... , 9, 10 gibi gider. Her x için y = mx + b hesaplanır.

5.2 Tablo (rows) neden önemli?

Grafik gözle fikir verir ama tablo, doğrunun üzerindeki sayısal noktaları gösterir. Özellikle:

• “x = 3 iken y kaç?” sorusunu anında görürsün
• kesişimleri yakalamak kolaylaşır
• kontrol amaçlı en güvenilir çıktıdır

5.3 Grafik (SVG) nasıl çiziliyor?

Bilgisayar ekranında piksel koordinatları ile matematik koordinatları aynı değildir:

• Matematikte y yukarı doğru artar
• Ekranda y aşağı doğru artar

Bu yüzden kodun, (x,y) noktalarını “ekrana” dönüştürmek için ölçekleme yapıyor:

• minX, maxX → x ekseninin görünür aralığı
• minY, maxY → y ekseninin görünür aralığı
• px(x): matematik x değerini ekran x koordinatına çevirir
• py(y): matematik y değerini ekran y koordinatına çevirir (ters çevirmeli)

Sonra polyline ile tüm noktaları bir çizgi gibi birleştirir (doğru çizimi). Ayrıca her noktaya birer küçük daire koyar: bu, tablodaki örnekleme noktalarının grafikte “gerçekten” nerede olduğunu gösterir.

---

6) Grafiği doğru okumak için püf noktaları

• (0, b) noktası her zaman doğrunun üzerindedir. Grafikte y eksenini nerede kestiğine bak.
• m’yi anlamak için “sağa 1 git → yukarı/aşağı kaç git?” düşün.
• m = 2 ise: sağa 1 gidince yukarı 2 çıkar.
• m = −3 ise: sağa 1 gidince aşağı 3 iner.
• Doğru x eksenini kesiyorsa, y=0 olduğundaki x değerini ararsın: x = −b/m.

---

7) Gerçek hayatta doğru denklemi nerede çıkar?

• Ücretlendirme: “Açılış ücreti + km başı ücret” → b açılış, m km başı
• Dönüşüm: Basit lineer dönüşümler (ör. ölçüm kalibrasyonu)
• Fizik: Sabit hızda yol: x = v t + x₀ (burada m=v, b=x₀ gibi)
• Ekonomi: Basit doğrusal arz-talep modelleri

Not: Bu konu anlatımı, doğrusal (lineer) modeller içindir. Dikey doğrular (x = sabit) bu formda gösterilemez.