Dikey Atış / Serbest Düşme Çözücü – Konu Anlatımı

Dikey Atış ve Serbest Düşme (Sabit İvmeli Hareket)

Dikey atış / serbest düşme, tek boyutta (yukarı-aşağı) gerçekleşen ve ivmesi sabit kabul edilen hareket türüdür. İdeal modelde tek etki yerçekimidir. Bu yüzden ivme sabit alınır ve çözüm tamamen klasik “sabit ivmeli hareket” denklemlerine dayanır.

İşaret Konvansiyonu (En kritik kısım)

Bu hesaplayıcıda yukarı yön pozitif seçilmiştir. Bu durumda:

• Yerçekimi ivmesi aşağı yönlü olduğu için a = −g yazılır.
• g’nin kendisi pozitif sayı girilir: örn 9.81 m/s²
• Yukarı atış: v₀ > 0
• Aşağı atış: v₀ < 0
• Serbest düşme: v₀ = 0

Bu işaret seçimi doğru yapılmazsa sonuçlar “mantıklı” görünse bile fiziksel olarak yanlış olur.

Temel Denklemler (Formül Seti)

Sabit ivme altında dikey konum ve hız:

1) Konum denklemi

y(t) = h₀ + v₀·t − (1/2)·g·t²

• h₀: başlangıç yüksekliği (m)
• v₀: başlangıç hızı (m/s)
• g: yerçekimi ivmesi (m/s²), pozitif girilir
• t: zaman (s)

2) Hız denklemi

v(t) = v₀ − g·t

Buradan şu çok net çıkar: g sabitse, hız her saniye g kadar azalır (yukarı atışta), serbest düşmede ise aşağı yönde hızın büyüklüğü her saniye g kadar artar.

3) Hız-konum bağıntısı (zamansız formül)

v² = v₀² − 2·g·(y − h₀)

Bu formül özellikle “çarpma hızını” veya “belli bir yükseklikteki hızı” zaman hesaplamadan bulmak için kullanılır.

Serbest Düşme Özel Hali

Serbest düşme demek v₀ = 0. O zaman:

y(t) = h₀ − (1/2)·g·t²

v(t) = −g·t

Yani süre arttıkça yükseklik parabolik azalır, hız ise doğrusal (lineer) şekilde negatife gider.

Yere Çarpma Süresi Nasıl Bulunur?

Yere çarpma anında yer yüksekliği referansı y = 0 seçilir. Bu yüzden konum denklemine y(t)=0 yazılır:

0 = h₀ + v₀·t − (1/2)·g·t²

Bu, t için ikinci dereceden denklemdir. Standart forma getirirsek:

a·t² + b·t + c = 0

• a = −(1/2)·g
• b = v₀
• c = h₀

Diskriminant (kök var mı?)

D = b² − 4ac

• Eğer D < 0 ise gerçek kök yoktur → bu parametrelerle y=0 kesişimi bulunmaz.
• Eğer D ≥ 0 ise iki kök çıkar.

Kökler

t = (−b ± √D) / (2a)

Fizikte zaman negatif olamaz. Bu yüzden hesaplayıcı, iki kökten pozitif olanı seçer (genellikle “yere çarpma” buna karşılık gelir). Bazen iki kök de pozitif çıkabilir (referans seçimine bağlı), bu durumda fiziksel olarak en erken çarpma anı alınır.

Maksimum Yükseklik ve t_max Nasıl Bulunur?

Yukarı atışta (v₀ > 0) cisim yükselirken yavaşlar ve tepe noktasında anlık hızı sıfır olur:

v(t) = v₀ − g·t ve tepe noktada v = 0

0 = v₀ − g·t_max → t_max = v₀ / g

Tepe yüksekliği için bunu konum denklemine koyarız:

h_max = y(t_max) = h₀ + v₀·t_max − (1/2)·g·t_max²

Bu araç, v₀ > 0 ise hem t_max hem h_max değerini verir. v₀ ≤ 0 ise tepe noktası “başlangıç anında” sayılabileceği için ayrıca hesaplamaz.

Çarpma Anındaki Hız Nasıl Bulunur?

Çarpma anında t = t_çarpma. Hız denklemiyle:

v_çarpma = v₀ − g·t_çarpma

İşaret önemli: negatif çıkması, cismin aşağı yönde hareket ettiğini söyler. (Bu modelde aşağı yön “negatif”tir.)

Zaman Tablosu (t, y, v) Ne İşe Yarar?

Tek bir sonuç yerine hareketin “film şeridi” gibi izlenmesini sağlar. Araç, 0’dan çarpma anına kadar her Δt adımında:

• t: zamanı
• y(t): o andaki yüksekliği
• v(t): o andaki hızı

Özellikle eğitimde çok güçlüdür: y’nin parabol, v’nin doğru gibi değiştiğini görürsün. Ayrıca numerik örnekleme sayesinde “yaklaşık” değerlerle hareketi sezgisel hale getirir.

Gerçek Hayatta Neden Tam Uyuşmaz?

Bu model idealdir: hava direnci yok, g sabit, tek boyut. Gerçek dünyada:

• Hava direnci düşüşü yavaşlatır, çarpma hızını düşürür.
• Çok yüksek irtifada g çok az değişebilir.
• Rüzgâr ve dönme (spin) gibi etkiler devreye girebilir.

Buna rağmen bu model, mühendislik ve eğitimde ilk basamak olarak standarttır.

Not: Bu konu anlatımı, sürtünmesiz ortam ve sabit yerçekimi varsayımıyla hazırlanmıştır.