Dik Üçgen Çözücü (Pisagor & Trigonometrik Oranlar) – Konu Anlatımı

Dik Üçgen Nedir?

Dik üçgen, bir açısı tam olarak 90° olan üçgendir. Bu 90°’lik açı “dik açı”dır ve dik açının karşısındaki kenar her zaman en uzundur: buna hipotenüs denir ve genellikle c ile gösterilir. Dik açıyı oluşturan iki kenar ise dik kenarlardır (burada a ve b).

1) Pisagor Teoremi: Dik Üçgenin Omurgası

Dik üçgenin en temel bağıntısı Pisagor Teoremidir: Dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Bu ilişki, geometriyi cebire bağlayan en güçlü köprülerden biridir.

Pisagor sadece “kenar bulma” formülü değildir; aynı zamanda harita/koordinat, mesafe hesapları, mühendislik toleransları, bilgisayar grafikleri, oyun motorlarında çarpışma/mesafe ölçümü gibi sayısız alanda temel araçtır. Bir noktadan diğerine “kuş uçuşu” mesafe hesabı çoğu zaman Pisagor’un doğrudan uygulamasıdır.

2) Bu Hesaplayıcı Ne Yapıyor? (Mod Mantığı)

Senin çözücün, kullanıcı farklı türde veri girebilsin diye üç ayrı “mod” destekliyor. Mantık şu: Dik üçgende genellikle en az iki bilgi verildiğinde üçgen belirlenir (bazı istisnalar ve belirsizlikler hariç).

Mod A: “İki dik kenar → hipotenüs” (mode = legs)

Kullanıcı a ve b dik kenarlarını girer. Hipotenüs doğrudan Pisagor’la bulunur:

Bu modun avantajı: En “temiz” mod budur. Ölçümler doğrudan dik kenarlar üzerinden gelir ve hata/uyarı ihtimali daha düşüktür.

Mod B: “Bir dik kenar + hipotenüs → diğer dik kenar” (mode = leg_hyp)

Kullanıcı bu kez hipotenüsü c ve dik kenarlardan birini (a veya b) girer. Pisagor formülünü yeniden düzenlersin:

Bu yüzden kodunda şu kontrol var: c ≤ a veya c ≤ b ise hata veriyorsun. Çünkü c, dik kenardan küçük olamaz; aksi “dik üçgen” değildir.

Mod C: “Bir dik kenar + açı → diğer kenar ve hipotenüs” (mode = leg_angle)

Bu modda kullanıcı bir açı girer: α (0° ile 90° arasında). Dik üçgende açı, kenar oranlarını belirler. Burada devreye trigonometri girer: sinüs, kosinüs, tanjant.

3) Trigonometrik Oranlar: sin, cos, tan Ne Anlatır?

Bir açıya göre kenarların “oran” ilişkisini anlatırlar. Aynı açıya sahip tüm dik üçgenler birbirine benzerdir, yani büyüklükleri değişse bile oranlar aynıdır. Bu yüzden trigonometri; haritacılıkta, navigasyonda, mimaride, fizikte eğik düzlem problemlerinde ve bilgisayar görüşünde sürekli kullanılır.

Bir dik üçgende bir açı seçtiğinde (α), üç kenarı o açıya göre isimlendirirsin:

• Karşı (opposite): α açısının tam karşısındaki kenar
• Komşu (adjacent): α açısına komşu olan dik kenar (hipotenüs hariç)
• Hipotenüs: her zaman 90°’nin karşısındaki en uzun kenar

4) Kodunun “Açı” Varsayımı: α Hangi Açı?

Senin kodunda α için şu yaklaşım var:

• Kullanıcı a girdiyse, kod “a = α’nın karşı kenarı” varsayımı yapıyor. Bu durumda sin(α) = a / c olur ve buradan c = a / sin(α).
• Kullanıcı b girdiyse, kod “b = α’nın komşu kenarı” varsayımı yapıyor. Bu durumda cos(α) = b / c olur ve buradan c = b / cos(α).

Bu varsayımı açıkça yazmak çok önemlidir; çünkü “α hangi köşe?” sorusu çözümü değiştirir. Senin çözücün α’yı a’nın karşısındaki açı gibi konumluyor. Bu güzel bir standarttır; yeter ki kullanıcı arayüzünde bunu net söyle (ör. “α: a kenarının karşısındaki açı” gibi).

Bu modda b veya a nasıl bulunuyor?

Kod, önce hipotenüsü trigonometriden buluyor, sonra diğer dik kenarı Pisagor’dan çıkarıyor:

Burada √ içini bazen “negatif” yapabilecek sayısal yuvarlama hataları olabilir. Sen bunu güvenli hale getirmek için Math.max(..., 0) yapmışsın. Bu, özellikle α çok küçük/büyükken veya girişler sınırdaysa iyi bir korumadır.

5) Açı Hesabı: Kenarlardan α Nasıl Bulunuyor?

Eğer kullanıcı açı girmediyse, kod kenarlardan α’yı “yakalamaya” çalışıyor. Senin tanımına göre α, a’nın karşısındaki açı. O zaman:

arcsin (ters sinüs) değeri radyan verir; dereceye çevirmek için: derece = radyan × 180 / π. Kodun bunu doğru şekilde yapıyor.

6) Alan ve Çevre: Geometrinin “Pratik” Sonuçları

Kenarları bulduktan sonra iki temel büyüklük daha hesaplıyorsun:

Alan

Dik üçgende alan çok kolaydır; çünkü iki dik kenar birbirine dik olduğu için “taban-yükseklik” olarak çalışır:

Bu formül; inşaat/metraj, arazi ölçümü, trigonometrik modelleme ve mühendislik çizimlerinde sık kullanılır.

Çevre

Çevre, kenarların toplamıdır:

7) “Uyarı” Mekanizması: Dik Üçgen Kontrolü Neden Var?

Kullanıcı bazen ölçümleri hatalı girer ya da yuvarlama yüzünden “tam” diklik bozulur. Sen bu yüzden bir doğrulama yapıyorsun:

• Sol taraf: a² + b²
• Sağ taraf: c²
• Göreli hata: |(a²+b²) − c²| / c²

Eğer bu göreli hata %2’den büyükse, “tam dik üçgen olmayabilir” uyarısı veriyorsun. Bu çok iyi bir tasarım: hesaplamayı durdurmuyor ama kullanıcıyı “girdileri kontrol et” diye uyarıyor. Özellikle ölçüm yapılan işlerde (ör. saha ölçümü, marangozluk, çizim) bu tür tolerans kontrolü gerçek hayatta da vardır.

8) Bu Çözücüdeki En Kritik İnce Nokta: Birimler ve Açılar

Matematikte büyük hata çoğunlukla “formül bilmeme” değil, birim ve açı yönetiminden gelir.

• Açı birimi: Kullanıcı derece giriyor, ama sin/cos/tan fonksiyonları radyan ister. Bu yüzden rad = derece × π / 180 dönüşümü zorunlu.
• Kenar birimi: Hepsi aynı birimde olmalı. (cm girip diğerini m girersen sonuç “doğru matematik” ama yanlış fizik/ölçü olur.)
• 0° ve 90° sınırları: α = 0° veya 90° olamaz; çünkü sin(0)=0 ve cos(90)=0 bölme hatası üretir. Bu yüzden kodun 0<α<90 kontrolü yapıyor.

9) Trig Oranlarını Neden Sonuç Olarak Yazıyoruz?

Çünkü trig oranları “sadece hesap” değildir; aynı zamanda üçgenin “kimliğidir”. Aynı α açısına sahip tüm dik üçgenlerin sin/cos/tan değerleri aynı çıkar. Bu, benzerlik kavramıdır.

Özellikle sınavlarda ve uygulamalarda şu yorumlar çok işe yarar:

• sin(α) büyürse, α büyür (0°–90° aralığında sin artar).
• cos(α) büyürse, α küçülür (cos bu aralıkta azalır).
• tan(α) “eğim” gibidir: karşı/komşu oranı. Bu yüzden mimaride rampanın eğimi, fizikte eğik düzlem, grafikte doğrunun eğimi ile tanjant arasında sezgisel bağ vardır.

10) Adım Adım “Bir Örnek” Mantığı (Kafada Canlandırma)

Kullanıcı a=3, b=4 girerse:

• c = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5
• Alan = (3·4)/2 = 6
• Çevre = 3+4+5 = 12
• sin(α) = a/c = 3/5 = 0.6
• cos(α) = b/c = 4/5 = 0.8
• tan(α) = a/b = 3/4 = 0.75

Bu üçgen aynı zamanda “3-4-5 üçgeni” olarak kültürel olarak da bilinir; inşaatta, saha ölçümünde “dikliği pratik kontrol etmek” için klasik bir yöntemdir.

11) Nerelerde Kullanılır? (Gerçek Dünya Bağlantısı)

• Mühendislik ve mimari: eğim, yükseklik, diyagonal uzunluk, çatı hesabı
• Haritacılık: iki nokta arası düz mesafe, yükseklik farkı
• Fizik: bileşen ayırma (kuvvetin x-y bileşenleri), eğik düzlem
• Bilgisayar grafikleri: ekran koordinatlarında mesafe, yön, vektör normu
• Günlük hayat: merdiven uzunluğu, TV/ekran ölçüleri (diagonal), oda köşegen hesabı

12) Bu Hesaplayıcının Kendi İçindeki “Adım Tablosu” Ne Anlatıyor?

Sen sonuçlara bir __table koyuyorsun. Bu, kullanıcıya hesaplamanın mantığını “özet adımlar” halinde verir:

1. Seçilen moda göre Pisagor veya trigonometrik oranlarla eksik kenarlar bulunur.
2. Alan ve çevre hesaplanır.
3. sin, cos, tan değerleri listelenir ve yorumlamaya hazır hale gelir.

13) Dikkat Edilmesi Gerekenler (Hata Kaynakları)

• Hipotenüs en büyük kenardır: c yanlış girilirse tüm sonuç bozulur.
• Açı tanımı karışabilir: “α hangi köşe?” açık değilse kullanıcı başka açıyı kasteder.
• Yuvarlama: 2 ondalık gösterim eğitim için iyi; ama hassas işlerde daha fazla basamak gerekebilir.
• Çok küçük/büyük açılar: sin veya cos çok küçük olur, bölme büyür; sonuçlar hassaslaşır.

Son söz: Dik üçgen çözmek, geometriyi “hesaplanabilir” hale getirir. Pisagor uzunlukları bağlar; trigonometri açıyı oranlara çevirir. Bu iki araç birlikte, hem sınavlarda hem gerçek ölçüm problemlerinde en hızlı çözümleri verir.